Предельный переход под знаком функции

Предел функции | Математика, которая мне нравится

предельный переход под знаком функции

какие хорошие полезные теоремы о предельном переходе под знаком . Если последовательность интегрируемых функций $\{f_n\}$. Тогда предельная функция интегрируема на и имеет место предельный переход под знаком интеграла Лебега, т.е. lim (x) d (x) lim (x) d (x) (x) d (x). Предельный переход под знаком интеграла. Например, если функции fn(x) определены на отрезке [0, 1] следующим образом.

Проверим, является ли последовательность монотонной. Проверим выполнимость условий теоремы Б.

предельный переход под знаком функции

В силу аддитивности интеграла имеем I x dx dx dx [ 0, ] [ 0, ] ], ] 3. Поэтому не существует такого M, для которого I M при всех N.

предельный переход под знаком функции

Леви к данной последовательности не применима. Найти и сравнить интегралы. В силу аддитивности интеграла имеем lim d lim d d d [ 0, ] [, ] [ 0, [ ], ] lim d d 0 l. Поэтому лемма Фату применима. Рассмотрим возможность применения теоремы Лебега о предельном переходе. Найдем теперь интегрируемую мажоранту. Выясним, является ли интегрируемой функцией. Решить предложенные ниже задачи Показать, что в теореме Фату нельзя потребовать выполнения равенства lim x d x lim x d x.

Можно ли утверждать, что x d x lim x d x?. Доказать, что lim x d x lim x d x. Показать, что теорема Б. Леви является следствием леммы фату и теоремы Лебега о предельном переходе.

Воспользовавшись леммой Фату, доказать, что если последовательность неотрицательных измеримых на функций сходится почти всюду на к функции и то интегрируема на и x d x K,, Привести пример последовательности интегрируемых на множестве Е функций сходящихся на Е к функции, которая неинтегрируема на Е.

Случай предельного перехода под знаком интеграла Лебега в случае, когда меняется не только подынтегральная функция, но и интегрирующая мера, рассматривали В. Арешкин [11], 13], [14], Ф. Алексюк [4], [14], В.

предельный переход под знаком функции

Климкин [13], 14], [30], X. В работах Арешкина, Алексюка и Климкина Арешкин доказал достаточность [11], Алексюк — необходимость [4], в совместной работе [13] Арешкин и Климкин доказали необходимость значительно более простым способом и распространили теорему на случай векторных мер была установлена следующая теорема, являющаяся обобщением теоремы Витали на случай последовательности мер.

§ 5. Переход к пределу под знаком интеграла

В дальнейшем будем ссылаться на эту теорему как на теорему Витали-Арешкина. В этой теореме, в отличие от классических теорем о предельном переходе, последовательность функций точки сходится всюду.

Применение столь сильного вида сходимости по сравнению с обычными для теории интеграла сходимостью почти всюду и сходимостью по мере представляется значительным недостатком теоремы Витали-Арешкина.

предельный переход под знаком функции

Заметим также, что как и в теореме Витали, в теореме Витали-Арешкина используется понятие равностепенной абсолютной непрерывности последовательности неопределённых интегралов относительно последовательности мер. Основной целью диссертации является, во-первых, найти условия равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей функций множества; во-вторых, ослабить в теореме Витали-Арешкина условие сходимости последовательности функции точки всюду.

Соответственно, решению вытекающих отсюда задач посвящены главы 1 и 2 диссертации. В главе 1 изучены условия равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей мер. Этот вопрос изучался в работах В.

Свойства пределов

Аля-кина [6], [7] и В. Климкина [27], [29], [30]. Получить условие равностепенной абсолютной непрерывности, не накладывая дополнительных условий, невозможно. Это показывает уже следующий простейший пример: В наиболее ранней работе [27], посвященной данному вопросу, В.

  • Предельный переход в неравенствах
  • Классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега
  • Основные теоремы о пределах

В дальнейшем в работах В. Климкина использовалось понятие диагональности последовательности функций множества, которое можно рассматривать, как обобщение этого условия.

В диссертации показано, что последовательность функций множества является диагональной тогда и только тогда, когда диагональной является последовательность их супремаций полных вариаций, если функции множества аддитивны.

Введено понятие слабой диагональности последовательности функций множества, с использованием которого получен критерий равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей мер, значительно усиливающий ранее известный критерий Климкина.

Исследованы некоторые свойства диагонально непрерывных последовательностей. С использованием понятия диагональной непрерывности последовательности мер получен ещё один критерий равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей мер.

Далее — некоторое кольцо множеств. Конечно-аддитивную функцию множества будем называть мерой. Счётно-аддитивную функцию множества будем называть счётно-аддитивной мерой.

Неотрицательную монотонную полуаддитивную функцию множества будем называть субмерой. Клим-кина были получены некоторые условия равностепенной абсолютной непрерывности, в частности, следующие две теоремы.

Научный форум dxdy

В диссертации доказаны следующие теоремы. Далее в диссертации введено новое понятие слабой диагональпости последовательности функций множества. Ранее аналогичный критерий был получен В. Это является существенным недостатком теоремы Климкина. Алякина [7] было введено определение диагональной непрерывности последовательности субмер. В диссертации принято похожее, но более общее определение, к тому же накладывающее на последовательность функций множества более слабые условия.

С использованием понятия диагональной непрерывности в диссертации получен следующий критерий равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей мер.

предельный переход под знаком функции

Построен контрпример пример 1.